Линейная функция

            Опыт репетитора свидетельствует о том, что графики функций, даже простейших – одна из самых плохо понимаемых тем. Что, безусловно, связано не столько с ее сложностью, сколько с отсутствием системной проработки этой темы в школе. Построению и, особенно, анализу графиков посвящается очень мало времени. Кроме того, изучение графиков разных функций разбросано по годам, и отсутствует исчерпывающее, собранное в одном месте описание и сравнение всех изучаемых функций с их графиками.

            Хороший репетитор начнет объяснение этой темы с составления сводной таблицы: общий вид формулы, название функции, график. Самое важное – это наглядно показать, как изменяется внешний вид функции с изменением ее параметров.

            Попробуем это проделать с линейной функцией:

            Формула: у = kx + b, где k и b– это числа, которые могут быть как положительными, так и отрицательными, и равными нулю, а у и х – естественно, буквы. Такая функция называется линейной, а графиком ее является прямая.

            k – называется угловым коэффициентом и отвечает за наклон прямой. На  рисунке приведены графики двух линейных функций один с коэффициентом  k= 2, а другой – с k= 1/2. Первый возрастает с большей скоростью, то есть идет круче, а другой – более полого.

Если же k < 0, то функция будет убывать, причем, чем больше k по модулю, тем круче вниз пойдет график.

Так по внешнему виду графика мы можем определять знак k, и сравнивать его по модулю.

            Теперь разберемся с тем, как же влияет параметр b на внешний вид линейной функции. С этим еще проще. b – это ордината точки пересечения прямой с осью у.  

На этом рисунке изображены три прямые с одинаковыми коэффициентами k = 1, но у них b принимает разные значения. Эти значения совпадают с отметками на оси у.

Если k = 0, то функция примет вид  у = b. Например у = 5 или у = – 4

Если же b = 0, то то функция примет вид  у = kx. Например у = 3x или у = – 2x.

Таким образом, можно обобщить все вышеизложенное и свести в одну таблицу:

Еще одним полезным навыком является определение приблизительного значения k по графику. Такое тоже оказывается возможным. Иногда бывает необходимо знать, хотя бы примерно, значение углового коэффициента для того, чтобы выбрать какая формула соответствует какому графику, если знаки k в обоих случаях одинаковы.

Например дан график:

Выберем на прямой две по возможности целочисленные точки.

Двигаться будем всегда слева направо. И измерим, на сколько мы сместимся вдоль оси х (это будет Х) и вдоль оси у (это будет У)

Затем поделим У на Х:

k = У/Х = - 3/ 6 = - 0,5

Обратите внимание на то, что Х всегда положительно, а У может быть как положительным, так и отрицательным. В нашем случае при движении от левой точки к правой мы смещались на 3 клетки вниз, поэтому У = - 3.

Рассмотрим еще один пример:

В этом случае: k= У/Х = 8/4 = 2

Теперь можно решить задачу, предложенную в одном из вариантов ГИА 2014:

Установите соответствие между функциями и их графиками:

Функции:

А) у = 2х + 6         Б) у = – 2х – 6            В) у = – 2х +6

Графики:

Решение:

А) у = 2х + 6.

k = 2 > 0. Следовательно, функция возрастает. На картинке это соответствует 1) и 4). b = 6, то есть точка пересечения графика с осью у должна лежать выше нуля. Это 1)

Б) у = – 2х – 6.

k = – 2 < 0. Следовательно, функция убывает. На картинке это соответствует 2) и 3). b = – 6, то есть точка пересечения графика с осью у должна лежать ниже нуля. Это 3)

В) у = – 2х +6

k = – 2 < 0. Следовательно, функция убывает. b = 6, то есть точка пересечения графика с осью у должна лежать выше нуля. Это 2)

Четвертая картинка не соответствует никакой из предложенных формул. Она дана для того, чтобы последнее соответствие нельзя было получить методом исключения, если первые две функции определены правильно.

Ответ:

.

Руслан Александрович - репетитор по математике

тел. моб. (495) 642 42 50. Звонить можно до 23:00. 

тел. моб. 8 (499) 723 68 84. Звонить можно до 23:00.

тел. дом. 8 (925) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

E-mail: mosrepetitor@mail.ru